پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی در این قسمت معادلات مرتبه ی اولی را بررسی می کنیم که به ظاهر خطی نیستند اما با زیرکی می توان آن ها را به معادلات خطی مرتبه اول تبدیل کرد. البته در این میان معادلات خطی مراتب بالاتر مثلا ً معادلات خطی مرتبه دوم ، با روش کاهش مرتبه به معادلات خطی مرتبه اول تبدیل می شوند که آن ها را در فصل سوم که به معادلات خطی می پردازد، بررسی می کنیم . 1 . معادلات برنولی شکل کلی معادله ی برنولی این گونه است : که در آن ، توابعی تک متغیره از x هستند. اگر n = 0 یا n = 1 آنگاه معادله خطی است و در حالتی که ، با یک تغییر متغیر مناسب ، به معادله ی خطی تبدیل می شود. چگونگی حل ِ معادله ی برنولی : معادله برنولی را در نظر بگیرید. با تقسیم طرفین ِ معادله بر ، خواهیم داشت : اگر تغییر متغیر را انتخاب کنیم ، خواهیم داشت : یا مقدار را در معادله ی قرار می دهیم : که یک معادله ی خطی مرتبه اول نسبت به u است که آن را نسبت به u حل کرده و با برگرداندن ِ تغییر متغیر ، جواب عمومی برحسب y به دست می آید. مثال زیر یکی از تست های کنکور کارشناسی ارشد مهندسی نفت در سال 1382 بوده است . مثال 20.2 : جواب عمومی معادله دیفرانسیل کدام است ؟ 1 . 2. 3. 4. حل : این معادله یک معادله ی برنولی است . طرفین آن را بر تقسیم می کنیم : تغییر متغیر را انتخاب می کنیم : بنابراین با قرار دادن در داریم : که یک معادلعه خطی مرتبه اول است. عامل انتگرال ساز را یافته و جواب عمومی آن را به دست می آوریم : اما . پس که نشان می دهد گزینه ی 3 پاسخ صحیح است.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی معادلات کلرو جزء معادلات خطی شدنی است. شکل کلی یک معادله دیفرانسیل کلرو این گونه است : چگونگی حل معادله کلرو برای حل این معادلات، تغییر متغیر را انتخاب می کنیم و در معادله ی قرار می دهیم : با فرض اینکه موجود باشد، از نسبت به x مشتق می گیریم : از معادله ی ، دو نتیجه می توان گرفت : یا 1 . اگر باشد آنگاه p عدد ثابتی است. در معادله ی قرار می دهیم p = c . خواهیم داشت : که نیز یک مقدار ثابت مانند است. پس معادله ی ، معادله ی دسته خطوط در صفحه است و جواب ِ عمومی معادله ی می باشد. 2 . اگر آنگاه . که با قرار دادن آن در معادله ی خواهیم داشت : بنابراین معادله پارامتری را برای x و y خواهیم داشت که p پارامتر آن است. در این صورت سه حالت پیش خواهد آمد : الف : اگر مقدار ثابتی باشد ، آنگاه صفر است و نقطه ی جواب است. ب : اگر تابعی خطی از p باشد ، آنگاه ، مقدار ثابتی است و جواب است که به صورت دسته خطوط است. پ : اما اگر هیچ کدام از موارد الف و ب نباشد معادله ی پارامتری یک منحنی در صفحه است و این منحنی جواب است . چون این جواب در حالت کلی یک خط مستقیم نیست، پس جواب ِ غیر عادی ِ معادله ی است. نکته : منحنی ، منحنی ِ پوش ِ دسته خطوط ِ است یعنی بر همه ی خطوط ِ مماس است.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی مثال 21.2 : جواب عمومی و غیرعادی معادله ی را به دست آورید. حل : قرار می دهیم و از معادله نسبت به x مشتق می گیریم : اکنون دو حالت داریم : 1 . اگر پس p = c و جواب عمومی به صورت زیر است : 2 . اگر پس منحنی جواب غیر عادی معادله است که به صورت ضمنی چنین است :
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی هر معادله دیفرانسیل به صورت یک معادله ی لاگرانژ نامیده می شود. برای حل معادلات لاگرانژ ، از تغییر متغیر استفاده می کنیم. بنابراین معادله ی لاگرانژ است. در حالت خاصی که باشد، معادله ی لاگرانژ به معادله ی کلرو تبدیل می شود. چگونگی حل یک معادله ی لاگرانژ : با فرض اینکه موجود باشد ، از معادله ی نسبت به x مشتق می گیریم : برای معادله ی دو حالت زیر را در نظر می گیریم : حالت اول : به ازای مقادیر ِ ثابتی از p ، معادله ی صفر است . مثلا ً اگر ، آنگاه و در این صورت . پس دو طرف تساوی صفر است. برای به دست آوردن جواب متناظر ، را در معادله ی قرار می دهیم : که این معادله ، یک خط راست خواهد بود و جواب غیر عادی معادله ی است زیرا جواب عمومی آن در حالت دوم به دست می آید. حالت دوم : در این حالت فرض کنیم . بنابراین معادله ی به صورت زیر خواهد شد : با دقت در معادله ی در می یابیم یک معادله ی خطی است که در آن x تابعی از p است. با حل معادله ی ، تابعی مانند به دست می آید که آن را در معادله ی قرار داده و تابع y را بر حسب x به دست می آوریم. تابع به دست آمده جواب عمومی معادله ی لاگرانژ خواهد بود. به مثال زیر دقت کنید تا معادله ی لاگرانژ را بهتر درک کنید و عملا ً با چگونگی حل یک معادله ی لاگرانژ آشنا شوید. مثال 22.2 : معادله ی لاگرانژ را حل کنید . حل : قرار می دهیم و از معادله نسبت به x مشتق می گیریم : اکنون دو حالت داریم : حالت اول : . پس p=1 و y = x + 1 جواب غیر عادی معادله است. حالت دوم : . پس : معادله ی یک معادله ی خطی مرتبه ی اول است . عامل انتگرال ساز را یافته و جواب عمومی را می یابیم : که . اکنون با توجه به تساوی های و ، جواب عمومی معادله ی اصلی به صورت زیر خواهد بود :
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی تاکنون معادلات مرتبه اول را شناخته ایم و روش هایی برای حا این گونه معادلات می شناسیم. اکنون می خواهیم معادلاتی را معرفی کنیم که از مرتبه ی اول نیستند ولی با تغییر متغیر های مناسب به معادلات مرتبه ی اول تبدیل می شوند. این گونه معادلات را معادلات مرتبه اول شدنی می نامیم. از میان معادلات مرتبه اول شدنی ، دو دسته ی خاص را مورد بررسی قرار می دهیم. توجه کنید : دسته ی اول : معادله ی مرتبه n زیر را در نظر بگیرید : در این معادله ، متغیر وابسته یعنی y ، دیده نمی شود و دو مشتق متوالی ِ آن در ضابطه ی معادله وجود دارند. برای تبدیل ِ این معادله به معادله ی مرتبه ی اول ، از تغییر متغیر استفاده می کنیم . با این انتخاب ، خواهد شد و با جایگزینی در معادله ی ، معادله دیفرانسیل مرتبه اول ِ به دست خواهد آمد . اکنون با توجه به این که معادله ی از کدام نوع ِ معادلات مرتبه اول است ، به حل آن پرداخته و سرانجام تغییر متغیر را برگردانده و با انتگرال گیری نسبت به x ، به جواب عمومی معادله ی می رسیم. مثال های زیر را دنبال کنید تا مفهوم جملات بالا را بهتر درک کنید : مثال 23.2 : جواب عمومی معادله ی را بیابید. حل : این معادله ، یک معادله ی مرتبه دوم است که y در آن حضور ندارد. با انتخاب ِ تغییر متغیر خواهیم داشت : و معادله ی داده شده به معادله ی تبدیل می شود. اکنون این معادله را حل می کنیم : پس این معادله یک معادله ی جداپذیر است و جواب عمومی آن این گونه است : اکنون قرار می دهیم : اکنون با انتگرال گیری نسبت به x خواهیم داشت : اگر قرار دهیم آنگاه جواب عمومی معادله ی داده شده به صورت خلاصه ی زیر خواهد بود : مثال 24.2 : معادله ی زیر را حل کنید : حل : تغییر متغیر را انتخاب می کنیم. پس و با جایگزاری در معادله ی خواهیم داشت : این معادله یک معادله ی خطی مرتبه اول است . عامل انتگرال ساز آن عبارت است از : بنابراین دارای جواب عمومی زیر است : و با قرار دادن داریم : اکنون با دوبار انتگرال گیری نسبت به x به جواب عمومی خواهیم رسید :
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی دسته ی دوم : به شکل کلی معادله دیفرانسیل زیر دقت کنید : این معادله نشان دهنده ی یک معادله دیفرانسیل ِ مرتبه دوم است که متغیر x در آن ظاهر نشده است. چگونگی حل اینکونه معادلات : برای حل این گونه معادلات از تغییر متغیر کمک می گیریم. با این انتخاب خواهیم داشت : اگر در معادله ی ، تغییر متغیررا اعمال کنیم به معادله ای مانند می رسیم که این معادله ، یک معادله ی مرتبه اول است که y به عنوان متغیر مستقل ِ آن و u به عنوان متغیر وابسته در نظر گرفته می شود. پس از آن که این معادله را نسبت به y حل کردیم و رابطه ی بین u و y را یافتیم، تغییر متغیر را برگردانده و با انتگرال گیری نسبت به x ، به جواب عمومی ِ معادله می رسیم. اگر این کلی گویی برایتان نامفهوم است، مثال های زیر را دنبال کنید : مثال : معادله دیفرانسیل را حل کنید. حل : همان گونه که توجه دارید ، در این معادله متغیر x ظاهر نشده است. بنابراین تغییر متغیر را انتخاب می کنیم . پس بنابر آنچه گفته شد : . بنابراین معادله ی داده شده به معادله ی زیر تغییر شکل می دهد : که این معادله ، یک معادله ی جداپذیر است و جواب عمومی آن این گونه است : u = cy اکنون تغییر متغیر را بر می گردانیم : که باز هم به یک معادله ی جداپذیر رسیدیم. با حل آن سرانجام جواب زیر به دست می آید : که این جواب عمومی معادله ی اصلی خواهد بود که در آن c و اعداد حقیقی دلخواه هستند. مثال : جواب مسأله مقدار اولیه زیر را به دست آورید : حل : ابتدا جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده را به دست می آوریم و سپس با شرایط داده شده، جواب خصوصی را از جواب عمومی بیرون می کشیم. با توجه به اینکه در ضابطه ی معادله، متغیر x ظاهر نشده است پس تغییر متغیر را انتخاب می کنیم . پس . . با جایگزاری این دو در معادله ی اصلی خواهیم داشت : که یک معادله ی خطی مرتبه اول است و دارای عامل انتگرال ساز ِ می باشد. پس جواب عمومی این گونه است : اکنون قرار می دهیم : که یک معادله ی جداپذیر است و جواب عمومی آن به صورت زیر است : رابطه ی جواب عمومی مسأله است. اکنون با توجه به شرایط اولیه ی داده شده در صورت مثال، جواب مسأله مقدار اولیه را می یابیم : بنابراین جواب مساله ی مقدار اولیه این گونه است : به امید اینکه در حل معادلات مرتبه اول مهارت کافی را کسب کرده باشید، بحث در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را در همین جا به پایان می بریم . البته حتما ً شما نیز پی برده اید که برای کسب مهارت در حل معادلات دیفرانسیل، نیاز است که در روش های انتگرال گیری ورزیده باشید . چون ، همان گونه که مشاهده نمودید، حل یک معادله دیفرانسیل دست کم یک مورد انتگرال گیری نیاز دارد. در فصل بعدی به معادلات خطی مراتب بالاتر خواهیم پرداخت. ادامه دارد............
فصل سوم: معادلات دیفرانسیل خطی مقدمه : در این فصل معادلات دیفرانسیل خطی را مورد بررسی قرار می دهیم. این معادلات را در فصل اول تعریف کرد. ابتدا معادلات خطی مرتبه دوم را بررسی خواهیم کرد چرا که بسیاری از روشهایی را که برای معادلات خطی مرتبه دوم بیان می شود، می توانیم برای حل معادلات مراتب بالاتر گسترش دهیم. برای آن که وارد مبحث معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه ی دوم شویم، نیازمند تعاریف و قضیه هایی هستیم. اولین قضیه ، همچنان که در فصل دوم بیان شد، قضیه ی وجود و یکتایی جواب مسأله یمقدار اولیه است. این قضیه شبیهقضیه ای است که درفصل های قبل آن را بدون اثبات پذیرفتیم اما شرایط آن را با معادلات درجه دوم سازگار می کنیم. چنین قضیه ای برای برای مسائل مقدار اولیه مراتب بالاتر نیز وجود دارد که برای سهولت از بیان آن ها خود داری می کنیم . پس با علم به وجود و صحت شان، وارد مبحث معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم می شویم .ََ
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی تعریف 3.1 : معادله خطی مرتبه دوم شکل کلی یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم این گونه است : که در این معادله ، توابعی تک متغیره از x هستند و متحد با صفر نیست ( ) . تعریف 3.2 : معادله خطی استاندارد مرتبه دوم : اگر طرفین معادله ی در تعریف 3.1 ، را بر تقسیم کنیم ، ضریب ِ برابر با 1 خواهد شد. ما معادله خطی مرتبه دومی را که ضریب ِ در آن برابر با 1 باشد، یک معادله خطی استاندارد می نامیم و به صورت کلی زیر در نظر می گیریم : تعریف 3.3 : تابع در معادله ی را تابع منزوی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم می نامیم. تعریف 3.4 : معادله دیفرانسیل همکن مرتبه دوم : اگر در معادله ی در تعریف 3.2 ، تابع منزوی متحد با صفر باشد، یعنی معادله به صورت ِ باشد، به آن یک معادله دیفرانسیل همگن مرتبه دوم می گوییم. دقت کنید که این گونه معادلات همگن و معادلات همگن مرتبه اول که در فصل دوم آموختیم، متفاوتند و نام مشترک آن ها موجب گمراهی نگردد. همگن دراین گونه معادلات خطی ، یک اصطلاح است. تعریف 3.5 : معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم : اگر در معادله ی در تعریف 3.2 ، تابع منزوی متحد با صفر نباشد، معادله را یک معادله ی ناهمگی مرتبه دوم می گوییم. تعریف 3.6 : نقاط تکین یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم : نقاطی را که به ازای آن ها، تابع در معادله ی از تعریف3.1 ، مساوی با صفر است ، یعنی ، را نقاط تکین معادله ی می نامیم.
پاسخ : فصل سوم: معادلات دیفرانسیل خطی در این قسمت قضایایی را بیان و اثبات می کنیم که برای به دست آوردن جواب عمومی یک معادله خطی مرتبه دوم نیاز مفیدند. اولین قضیه بیان می کند که اگر ما به هر طریقی ، یک جواب خصوصی ِ معادله ی ناهمگن را به دست آورده باشیم یا آن را داشته باشیم و جواب عمومی معادله ی همگن ِ نظیر را نیز دانیم، می توانیم جواب عمومی معادله ی ناهمگن را به دست آوریم : قضیه 3.1 : اگر یک جواب خصوصی معادله ی خطی استاندارد ناهمگن مرتبه دوم و جواب عمومی معادله ی همگن نظیرش باشد آنگاه جواب عمومی معادله خطی استاندارد ناهمگن مرتبه دوم است. اثبات : با توجه به مفروضات قضیه، یک جواب خصوصی معادله ی در تعریف 3.2 و جواب عمومی معادله ی در تعریف 3.4 می باشند. ابتدا نشان می دهیم معادله ی یک جواب معادله ی است و سپس نشان می دهیم که این جواب، جواب عمومی نیز هست یعنی هر جواب دیگر معادله را می توان از به دست آورد. برای آنکه نشان دهیم یک جواب است، تابع و مشتقاتش را در معادله قرار می دهیم. داریم : اما چون جواب عمومی معادله است پس در آن صدق می کند یعنی بنابراین از نتیجه می شود : این نیز برقرار است زیرا یک جواب خصوصی برای معادله است. بنابراین در صدق می کند و یک جواب آن است. برای آنکه نشان دهیم جواب عمومی معادله است، فرض کنید جواب دیگری از معادله باشد. اگر را در معادله ی قرار دهیم خواهیم داشت : اما مقدار هریک از پرانتز های سمت چپ برابر با است. ازبرقراری این تساوی نتیجه می شود که جوابی از معادله ی است.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی اما جواب عمومی معادله بود، بنابراین هر جواب دیگر معادله ، از جمله را می توان به ازای ثابت هایی مانند از جواب عمومی به دست آورد. بنابراین یعنی نشان دادیم که هر جواب دیگر از معادله را می توانیم از معادله ی به دست آوریم. پس جواب عمومی معادله ی است. قضیه ی دوم نشان می دهد که اگر دو جواب از معادله همگن را بدانیم، آنگاه هر ترکیب خطی ازآن ها، جواب دیگری برای معادله ی همگن به دست می دهد، که می تواند راهنمای ما در به دست آوردن جواب عمومی معادله باشد. در آینده شرایطی را بیان خواهیم کرد که با استفاده از این قضیه با آن شرایط ، جواب عمومی معادله همگن را به دست آوریم. قضیه 3.2 : اگر و دو جواب برای معادله همگن باشند، آنگاه برای هر مقدار حقیقی ِ ، تابع نیز یک جواب برای معادله همگن است. اثبات : برای اثبات کافی است نشان دهیم در معادله همگن صدق می کند : اما فرض مسأله بیان می کند که تساوی بالا درست است چرا که هر یک حاصل از پرانتزها برابر با صفر است ، زیرا و جواب های معادله ی همگن هستند. بنابراین در صدق می کند. پس جواب معادله همگن است.
