هدف رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درك نظمي است كه در وضعيت‌هاي ظاهرا پيچيده نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم، مفاهيمي هستند كه ما را قادر مي‌سازند تا اين نظم را توصيف كنيم . علم رياضي، قانونمند كردن تجربيات طبيعي است كه در گياهان و بقيه مخلوقات مشاهده مي‌كنيم . علوم رياضيات اين تجربيات را دسته‌بندي و قانونمند كرده و همچنين توسعه مي‌دهد. رياضيات علم مدل‌دهي به ساير علوم است. يعني زبان مشترك نظريات علمي ساير علوم ، علم رياضي مي‌باشد و امروزه اگر علمي را نتوان به زبان رياضي بيان كرد، علم نمي‌باشد. اهداف گرايشهاي مختلف اين رشته عبارتنداز: 1- رياضي كاربردي: هدف از اين شاخه تربيت كارشناسي است كه با اندوخته كافي از دانش رياضي، توانايي تحصيل كمّي از مسائل صنعتي، اقتصادي و برنامه‌ريزي را كسب نموده، توان ادامه تحصيل در سطوح بالاتر را داشته باشد. 2- رياضي محض: هدف از اين شاخه رياضي، تربيت متخصصان جامع در علوم رياضي است كه آمادگي لازم براي ادامه تحصيل در جهت اشتغال به پژوهش و نيز انتقال علم رياضي در سطوح دانشگاهي را داشته باشند. آشنايي با تجزيه و تحليل مسائل در قالب رياضي و مدل‌سازي رياضي نيز از اهداف ديگر شاخه رياضي محض است. 3- دبيري رياضي: هدف از شاخه دبيري تربيت دبيران و كارشناسان متخصص آموزش رياضي است كه پاسخگوي نيازهاي آموزش و پرورش كشور در سطوح پيش‌دانشگاه باشند. ماهيت رياضيات بر خلاف تصور بعضي از افراد يكسري فرمول و قواعد نيست كه هميشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده كرد بلكه رياضيات درست فهميدن صورت مساله و درست فكر كردن براي رسيدن به جواب است و براي به دست آوردن اين توانايي ، دانشجو بايد صبر و پشتكار لازم را داشته باشد تا بتواند حتي به مدت چندين ساعت در مورد يك مساله رياضي فكر كرده و در نهايت با ابتكار و خلاقيت آن را حل كند. فارغ‌التحصيلان اين رشته مي‌توانند پس از پايان تحصيلات، در ادارات دولتي براي مسووليتهايي كه به نوعي با تجزيه و تحليل مسائل سروكار دارند، در بخش خصوصي در اموري همانند طراحي سيستمها در امر بهينه‌سازي و بهره‌وري ، در بخش صنعت براي اموري همانند مدل‌سازيهاي رياضي ، در آموزش و پرورش و ... ، مسووليتهاي متفاوتي را به عهده گيرند. تواناييهاي مورد نياز و قابل توصيه شايد مهمترين توانايي علمي يك دانشجوي رياضي ، تسلط بر درس رياضي دبيرستان مي‌باشد كه اين امر صرفا زاييده علاقه شخصي به اين درس است. اين رشته نيازمند دانشجوياني است كه از نظر ذهني آمادگي جذب ايده‌هاي جديد را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درك كرده و مسائل غيرمتعارف را حل كنند. به عبارت ديگر يك روحيه علمي ، تفكر انتقادي و توانايي تجزيه و تحليل داشته باشند. از آنجا كه رياضيات ورود به عرصه‌هاي ناشناخته و كشف قوانين آن است ، علاقمندي به مباحث رياضي از همان دوران تحصيل در دبيرستان مشخص مي‌شود. همين علاقمندي است كه مي‌تواند راه‌هاي بسيار سخت را براي دانشجوي اين رشته هموار سازد. یك رياضيدان قبل از هرچيز بايد جرات قدم‌گذاري در وادي ناشناخته‌ها را داشته باشد. بطور كلي دقت ،تجزيه و تحليل صحيح و صبر و پشتكار سه عامل اصلي در توفيق داوطلب در اين رشته مي‌باشد. توانايي هاي فارغ‌التحصيلان مقاطع كارشناسي ارشد و دكتري نظر به اين كه در مقاطع تحصيلات تكميلي به جنبه‌هاي پژوهشي، تحقيقاتي و كاربردي با ديد عميقتري پرداخته مي‌شود، فارغ‌التحصيلان اين مقاطع داراي تواناييهاي علمي و تحقيقي و محاسباتي زيادي هستند و در كارهاي اجرايي نقش مهم و ارزنده‌اي دارند. در مقطع دكتري، دانشجويان ضمن افزايش مراتب علمي خود در يك زمينه خاص، قدرت ، توان و صلاحيت خود را در جهت انجام طرحهاي تحقيقاتي در سطح ملي و منطقه‌اي افزايش مي‌دهند و قادر به توسعه مرزهاي دانش و رفع معضلات علمي و اجرايي از طريق پژوهش مي‌باشند. فارغ‌التحصيلان مقاطع تحصيلات تكميلي مي‌توانند با توجه به تخصص ويژه خود، در مراكز علمي و پژوهشي، مراكز تحقيقاتي، دانشگاهها و صنايع و مراكز آموزش عالي به عنوان عضو هيات علمي يا عضو پژوهشي جذب گردند. خوشبختانه با رويكرد صنايع و مؤسسات به انجام امور تحقيقاتي، هم‌اكنون امكان جذب بسياري از فارغ‌التحصيلان تحصيلات تكميلي رشته‌هاي رياضي ، فراهم شده است. گرايشهاي مقطع کارشناسي در كل سه گرايش براي اين رشته وجود دارد كه عبارتند از : رياضي محض ، رياضي كاربردي و دبيري رياضي رئيس اتحاديه بين‌المللي رياضيدانان جهان در يازدهمين اجلاس آكادمي جهان سوم ، عنوان كرده است كه بهتر است بگوييم رياضيات و كاربردهاي آن، نه اينكه رياضيات را به محض و كاربردي تفكيك كنيم چرا كه به اعتقاد رياضيدانها هيچ مقوله رياضي نيست كه روزي كاربردي براي آن پيدا نشود. رياضيات محض بيشتر به قضايا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگي اثباتشان مي‌پردازد اما در رياضيات كاربردي چگونه استفاده كردن و به كارگرفتن قضايا، آموزش داده مي‌شود، به عبارت ديگر در اين شاخه، كاربرد رياضيات در مسائل موجود در جامعه بيان مي‌گردد. وقتي صحبت از رياضي محض مي‌شود نبايد تصور كرد كه بايد در گوشه‌اي نشست و به حل مسائل رياضي پرداخت بلكه اين علم ، بخصوص در مدارج بالا، ارتباط نزديكي با طبيعت دارد به عبارت ديگر ايده‌هاي رياضي از ذهن پژوهشگران نمي‌رويد بلكه رياضيدانها غالبا الهام خود را از طبيعت مي‌گيرند و به قول ژان باپتيت فوريه? رياضيدان مشهور قرن نوزدهم فرانسه تعمق در طبيعت، پربارترين منابع اكتشافات رياضي است. عموما رياضيات كاربردي به شاخه‌اي از رياضي گفته مي‌شود كه كاربرد علمي مشخصي داشته باشد براي مثال در اقتصاد، كامپيوتر،فيزيك و يا آمار و احتمال كاربرد داشته باشد و رياضي محض نيز به شاخه‌اي گفته مي‌شود كه به نظريه‌پردازي رياضي مي‌پردازد اما بايد توجه داشت كه امروزه اين دو گرايش آن‌چنان در هم ادغام شده‌اندكه مرزي را نمي‌توان بين آنها مشخص كرد. زيرا گاه يك تئوري كاملا محض وارد مرحله كاربردي شده و چون در عمل با مشكل روبرو مي‌شود، بار ديگر به حوزه تئوري برمي‌گردد و در نهايت پس از رفع نقايص، دوباره وارد مرحله كاربردي مي‌شود. يعني يك تعامل و ارتباط دوجانبه‌اي بين رياضي كاربردي و محض وجود دارد و هريك از اين دو شاخه، از تجربيات شاخه ديگر به بهترين نحو استفاده مي‌كند و به همين دليل يك رياضيدان موفق بايد از هر دو شاخه اطلاع داشته باشد. گرايشهاي مختلف مقاطع كارشناسي ارشد و دكتري : فارغ‌التحصيلان مقاطع كارشناسي رياضي كاربردي مي‌توانند در مقاطع كارشناسي ارشد در گرايشهاي مختلف: تحقيق در عمليات ، آناليز عددي ، بهينه سازي و نظريه كنترل به تحصيل ادامه دهند، فارغ‌التحصيلان كارشناسي رياضي محض و دبيري مي‌توانند در مقاطع كارشناسي ارشد در گرايشهاي مختلف آناليز رياضي، جبر، هندسه و معادلات ديفرانسيل ادامه تحصيل دهند. در هر يك از گرايشهاي ياد شده زير شاخه‌هاي تخصصي‌تري وجود دارد كه در مقطع دكتراي تخصصي (Ph.D) و نيز در رساله دكتري به آن پرداخته مي‌شود. آينده شغلي و بازار كار كاربرد رياضي در علوم مختلف انكارناپذير است. براي مثال مبحث آناليز تابعي در مكانيك كوانتومي، كاربرد بسياري زيادي دارد و يا در بيشتر رشته‌هاي مهندسي معادله لاپلاسي كه يك معادله رياضي است، مورد استفاده قرار مي‌گيرد. در جامعه‌شناسي نيز نظريه احتمال و نظريه گروهها نقش بسياربسيار مهمي ايفا مي‌كند. در كل بايد گفت كه همه صنايع ،زير ساخت رياضي دارند و به همين دليل در همه مراكز صنعتي و تحقيقاتي دنيا، رياضيدانها در كنار مهندسان و دانشمندان ساير علوم حضوري فعال دارند و آنچه در نهايت ارائه مي‌شود، نتيجه كار تيمي آنها است. اگر در جامعه مشاغل، جنبه علمي داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهي رياضيدان نياز خواهيم داشت چون يك رياضيدان مي‌تواند مشكلات را به روش علمي حل كند. البته اين به آن معنا نيست كه در حال حاضر هيچ فرصت شغلي براي يك رياضيدان وجود ندارد اما بايد حضور رياضيدانها در مراكز تحقيقاتي و صنعتي پررنگتر باشد. هرچقدر كه شغل يك فرد تخصصي‌تر شود، ميزان رياضياتي كه لازم دارد، بيشتر مي‌گردد. براي مثال يك مهندس الكترونيك از آناليز تابعي و فرآيندهاي تصادفي استفاده مي‌كند و يا يك برنامه‌ريز پروژه‌هاي اقتصادي از مطالب پيشرفته آماري مانند سريهاي زماني ، به عنوان ابزار كار ياري مي‌گيرد. به همين دليل امروزه تربيت متخصصان علم رياضي، يعني افرادي كه قادر هستند رياضيات مورد نياز را آموزش داده و يا توليد كنند، اهميت بسيار زيادي دارد. چرا كه لازمه پيشرفت در تكنولوژي ، توجه به دانش رياضي مي‌باشد. درست است كه در جامعه ما مكان مشخصي براي جذب فارغ‌التحصيلان رياضي وجود ندارد اما يك ليسانس رياضي به دليل نظم فكري و بينش عميقي كه در طي تحصيل به دست مي‌آورد، مي‌تواند با مطالعه و تلاش شخصي در بسياري از شغل‌ها ، حتي شغل‌هايي كه در ظاهر ارتباطي با رياضي ندارد موفق گردد. وضعيت نياز كشور به اين رشته در حال حاضر هر وزارتخانه يا شركتي نياز به افرادي دارد كه علاوه بر دانستن الفباي كامپيوتر، داراي توانايي و تجزيه و تحليل و تصميم‌گيري مناسب باشند در اين زمينه شركتها مي‌توانند فارغ‌التحصيلان رياضي محض و يا كاربردي را جذب نمايند. رشته‌هاي مختلف رياضي جايگاه وسيعي در جامعه دارند از آن جمله : تمام رشته‌هاي مهندسي ، رشته‌هاي مختلف علوم پايه (فيزيك ، شيمي ، زيست‌شناسي، زمين شناسي) پزشكي، علوم كامپيوتر، اكتشافات فضايي، بازرگاني، برنامه‌ريزيهاي دولتي غالب رشته‌هاي وابسته به صنعت ، مديريت و رشته‌هاي مختلف كشاورزي به رشته رياضي وابسته‌اند و از آن به طور مستقيم استفاده مي‌كنند؛ همچنين بخش بزرگي از فعاليتهاي اقتصادي و توليدي كشور در طرحهاي مختلف نظير: نفت ، پتروشيمي، حمل و نقل و ... ، مستقيم و يا غيرمستقيم از رياضي استفاده مي‌كنند. دروس اصلي مشترک رشته رياضي درهر دو گرايش محض و کاربردي رياضي 1 و 2 و 3 آناليز 1 و 2 جبر 1 مباني رياضيات آمار 1 و 2 معادلات ديفرانسيل جبرخطي 1 و 2 مباني هندسه توابع مختلط آناليز عددي 1 مباني کامپيوتر گراف نظريه معادلات ديفرانسيل نظريه اعداد
معرفی کتابهای رشته ریاضی برنامه ریزی ریاضی کاربردی استیفن پی.برادلی، آرنولدو سی.هکس ، تامس ال.مگننتی دکتر هدایت ذکایی آشتیانی و دکتر حسین تقی زاده کاخکی مشخصات کتاب نام کتاب :برنامه ریزی ریاضی کاربردی Applied Mathematics Programing تـألیف :استیفن پی.برادلی، آرنولدو سی.هکس ، تامس ال.مگننتی Bradley , Hax , Magnanti ترجمه : دکتر هدایت ذکایی آشتیانی و دکتر حسین تقی زاده کاخکی ویراستار :علی رضا جباری لیتوگرافی ، چاپ و صحافی : چاپخانه دانشگاه صنعتی شریف پیشگفتار مترجمان : خوشبختانه در سال های اخیر در کشور ما توجه بیشتری نسبت به رشته ی تحقیق در عملیات و علم مدیریت ابراز شده است. کتاب های متعددی در این زمینه نیز از مؤلفان بنام ترجمه شده است. کتاب حاضر نیز یکی از کتاب های معروف و معتبر در این زمینه است که متأسفانه در کشور ما چندان شناخته شده نیست. این امر سبب شد مترجم اول سالیانی پیش فصل هایی از کتاب را ترجمه کند. با افزوده شدن فصل ها، تمرینات و فصل های دیگری اثر حاضر حاصل شده که ترجمه ی 8 فصل از 14 فصل کتاب اصلی است. انتخاب این فصل ها گذشته از ترتیب درج آن ها در کتاب اصلی به سبب تناسب موضوعات آن ها با یکدیگر حول موضوع برنامه ریزی خطی است. اما آنچه این کتاب را از کتاب های مشابه دیگر متمایز می سازد تأکید آن بر آموزش نحوه ی کاربرد برنامه ریزی خطی در مسائل عملی است. مثلا ً در کمتر کتاب دیگری می توان مراحل فرمول بندی یک مسأله عملی را به گونه ای که در فصل 5 این کتاب تشریح شده است یافت. همچنین با اطمینان می توان گفت که در کمتر کتاب درسی دیگری در این زمینه مثال های کاربردی به گونه ای که در فصل های 6 و 7 ارائه شده مورد تحلیل قرار گرفته است. تمرینات این کتاب نیز یکی دیگر از وجوه تمایز آن است. اما چون مدت هاست از چاپ این کتاب معتبر می گذرد مطالب مربوط به برنامه های کامپیوتری آن به روز نیست. با اختراع کامپیوتر های پیشرفته تر و با پیشرفت زبان های برنامه نویسی امروزه نرم افزارهای کامپیوتری متنوع و قدرتمندی برای برنامه های خطی وجود دارد که می توانند به راحتی مسائل با ابعادد بزرگ را حل کنند. به هر تقدیر به اعتقاد ما این کاستی به هیچ روی از ارزش این کتاب به عنوان یک کتاب کاربردی و پایه نمی کاهد. جای خالی آن در میان دانشجویان و علاقه مندان به علم مدیریت و تحقیق در عملیات مارا بر آن داشت تا به ترجمه ی آن اقدام ورزیم. امید است مورد قبول اهل نظر افتد.
فضاهای متریک ( با طعم توپولوژی) مشخصات کتاب نام کتاب : فضاهای متریک ( با طعم توپولوژی) ...«کتاب برگزیده سال 1384 خراسان » ... ( ویرایش جدید ) تألیف : دکتر مجید میرزاوزیری ویراستار علمی : دکتر محمد صال مصلحیان امور فنی و چاپ : مؤسسه چاپ و انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد توضیحاتی در مورد محتویات کتاب و دانشجویان مخاطب آن که از مقدمه چاپ اول کتاب انتخاب شده است : مطالبی که در این کتاب خواهید دید چند سالی است که با تدریس در دانشگاه تجربه شده و سعی گردیده است تا نظرات سازنده ی دانشجویان در رفع کاستی ها اعمال گردد، گرچه هنوز هم با ایده آلی که مد نظر است فاصله دارد. تجربه ی تدریس نشان می دهد که دانشجویان فقط علاقه مند به یادگیری مباحث علمی صرف نیستند و ترجیح می دهند علاوه بر آن، به طریقی ملموس با تاریخ علم مورد بحث نیز آشنا شوند. همچنین اکثر دانشجویان از مطالعه ی مطالب علمی در قالبی تکراری و یکنواخت گریزان هستند و پشت سرهم آمدن تعاریف و قضایا چندان به نظر ایشان خوش نیم آید. از این رو در تألیف کتاب حاضر کوشش شده است تا به این مهم توجه شود. بحث در مورد فضاهای متریک ، به خودی خود آن قدر ظریف و پرکار است که شمه ای ز بیانش به صد رساله نیز بر نمی آید ، مخصوصأ آن که در این کتاب سعی شده است تا علاوه بر این مبحث، گوشه چشمی به توپولوژی نیز داشته باشیم و با این مبحث ریاضی کام خود را شیرین سازیم. روشن است که با افزودن چاشنی توپولوژی به مبحث اصلی کتاب ، قصد ارائه ی بحث تخصصی و مفصل را در مورد آن نداریم و تنها به اشاره ای مجمل قانع هستیم. آشنایی با فضاهای متریک نیازمند پیش نیازهایی است که در این کتاب فرض را بر آن گذاشته ایم که خواننده با آن آشنا می باشد. اندک اطلاعاتی در زمینه ی منطق ، نظریه مجموعه ها و توابع، چیزی است که به طور طبیعی خواننده ای که گام در مسیر فضاهای متریک می گذارد باید با آن ها آشنا باشد. مجموعه های ، ، ، و آن قدر معروف هستند که نیازی به معرفی آن ها نیست چرا که در این کتاب قصد آن نداریم به شیوه ای نظریه مجموعه ای به نمایاندن اعداد و ساختن آن ها بپردازیم. اما ار آن جا که ساختن از روی به شیوه ی دنباله ی کوشی بحثی آنالیزی است حیف دیدیم که در این کتاب از آن سخنی به میان نیاوریم. به علاوه هر چه بیش تر در مورد ساختارهای مختلف بدانیم درک ما از مباحث فضاهای متریک آسان تر خواهد شد. می دانیم که ساختارهای ترتیبی ( نسبت کوچکتری ) ، جبری ( اعمال جمع و ضرب ) و آنالیزی ( تابع قدرمطلق ) روی هر یک به ایجاد جنبه های مختلف قدرت کمک کمی کنند و فرض را بر این می گذاریم که خواننده به خوبی این مطالب را در درس های ریاضیات عمومی فراگرفته است. همچنین آشنایی اندکی با فضاهای برداری، نظریه ی ماتریس ها، نظریه ی اعداد و نظریه ی گراف در درک بهتر مثال ها مفید است. خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی، اصل لانه کبوتری ، اصل کمال و نکاتی در مورد سوپریمم و اینفیمم نیز آن قدر معروفند که دانستن آن ها توسط دانشجویی که در حال گذراندن درسی در فضاهای متریک است بدیهی به نظر می رسد. لا همّ خود را بیش تر صرف مباحث اصلی خواهیم کرد و توان خود را در بررسی جزئیات متمرکز می کنیم. در این کتاب، مجموعه های معمولی را با A ، B و . . . ، مجموعه های اندیس گذار را با و مجموعه های جهتدار را با نمایش می دهیم. همچنین برای نشان دادن انتهای تعاریف از علامت ، مثال ها از ، برهان ها از و تبصره های از استفاده می کنیم. لذا اگر در مطالعه ی اولیه ی کتاب چیزی به نظر مشکل آمد می توان از ابتدای بحث تا علامت مورد نظر را حذف کرد. نکته ی دیگری که لازم به ذکر است این است که در این کتاب کلمه های تابع و نگاشت را به مفهومی معادل به کار برده ایم و تمایزی بین این دو کلمه قائل نمی شویم. فقط اگر در برخی جاها کلمه ی نگاشت به چشم خورد به دلیل مصطلح بودن آن می باشد. در حاشیه ی صفحات کتاب ، جملات و عکس هایی آمده است که تا حدودی مرتبط با مطلب مورد بحث است. در هر بخش سعی شده نامی از بزرگان ریاضیات در ابتدای بخش ها یا در جایی که اصطلاحی منسوب به فردی خاص است بیاید. اما جملای که گوینده ی آن ها مشخص نیست در زمره ی جملات طنز هستند که با حروفی متفاوت آمده اند.
معادلات دیفرانسیل 1.1. نگاهی بر آنچه در این فصل خواهیم آموخت منظور از معادله دیفرانسیل چیست؟ مرتبه و درجه ی یک معادله دیفرانسیل چیست؟ معادلات دیفرانسیل به چند دسته تقسیم می شوند؟ آیا تمام معادلات دیفرانسیل حل می شوند؟ منظور از جواب یک معادله دیفرانسیل چیست؟ آیا معادلات حل شدنی جواب منحصر به فرد دارند؟ و . . . اینها سوالاتی هستند که در این فصل در پی پاسخ آنها هستیم... 2.1. منظور از یک معادله دیفرانسیل چیست ؟ اگر یک تابع باشد ، معادله ای که شامل تابع f و مشتقات آن نسبت به متغیرx با شد را یک معادله دیفرانسیل می نامیم. اگر f تابع دو متغیره یا بیشتر باشد، معادله ای که شامل f و مشتقات جزئی آن باشد را یک معادله دیفرانسیل جزئی می نامیم. مثال 1. معادلات زیر نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل هستند: الف : y' + y = 0 ب : پ : ت : y" + 4 y' + 4 y = 0 از نمونه های بالا در می یابیم که ، یک معادله دیفرانسیل ، رابطه ای است که بین تابع مجهول y و مشتقات آن برقرار است.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی 3.1 . مرتبه و درجه ی یک معادله دیفرانسیل دو تعریف و دو مثال تعریف 1. اگرy تابعی دلخواه از x باشد و F تابعی از n+2 متغیر ِ x و y و y' و . . . و باشد ، آنگاه معادله دیفرانسیل ( 1 ) یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه ی n نامیده می شود. به عبارت ساده تر در یک معادله دیفرانسیل ، بزرگترین مرتبه ی مشتق موجود در آن، ، مرتبه ی معادله دیفرانسیل نامیده می شود. مثال 2 : معادله ی ( الف ) یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 2 است و معادله ی ( ب ) یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 3 است. تعریف 2 : اگر یک معادله دیفرانسیل را بتوانیم به صورت یک چندجمله ای بر حسب تابع مجهول y و مشتقاتش بنویسیم ، در این نمایش ، توان ِ مرتبه ی معادله را درجه ی معادله دیفرانسیل می گوییم. مثال 3 : معادله ( الف ) در مثال 2 ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه 2 و از درجه ی اول است و معادله ی ( ب ) یک معادله دیفرانسیل مرتبه 3 درجه 2 است.
پاسخ : معادلات دیفرانسیل 4.1. جواب های یک معادله دیفرانسیل تعریف 4 : جواب یک معدله دیفرانسیل معمولی مرتبه ی n ، در بازه ی I ، تابع است به طوری که مشتقات مرتبه اول تا مرتبه n ام تابع در این بازه موجود باشند و در معادله ی صدق کنند. برای درک بهتر این مطلب به مثال زیر توجه کنید. مثال 4 : معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید. در این صورت خواهد بود. تابع یک جواب این معادله دیفرانسیل است زیرا مشتقات این تابع از هر مرتبه ای در موجودند و این تابع و مشتقاتش تا مرتبه 3 در معادله ی داده شده صدق می کنند : سوال : آیا تابع ، تنها تابعی است که در معادله مثال 4 صدق می کند؟ یعنی آیا این تابع منحصر به فرد است؟ پاسخ این سوال منفی است. زیرا اگر c عدد ثابت دلخواهی باشد، در این صورت تابع نیز در دارای مشتق از هر مرتبه ای هست و این تابع و مشتقاتش تا مرتبه ی 3، در معادله ی داده شده صدق می کنند : بنابراین معادله دیفرانسیل یاد شده در مثال 4، به ازای هر ثابت دلخواه c ، یک جواب خواهد داشت. سوال : آیا تنها توابعی به شکل در معادله مثال 4 صدق می کنند؟ پاسخ این سوال نیز منفی است. زیرا اگر توابع را که c یک ثابت دلخواه از است در نظر بگیریم ، آنگاه این تابع که مشتقاتش از هر مرتبه ای در موجودند، در معادله دیفرانسیل یاد شده صدق می کنند. ( امتحان کنید!! ) همچنین اگرc یک ثابت دلخواه باشد، تابع ثابت ِ y = c نیز دارای مشتق از هر مرتبه ای در است و در معادله دیفرانسیل مثال4 صدق می کند. اکنون این سوال پیش می آید که از بین این همه جواب برای چنین معادلاتی ، کدام یک از آن ها را به عنوان جواب اصلی انتخاب می کنند؟ که در زیر با تعریف جواب عمومی به پاسخ آن پی خواهیم برد : تعریف 5 : جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل : جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل مرتبه n ، تابعی است شامل n ثابت دلخواه ِ ، که این تابع به ازای هر مقدار ِ این ثابت ها ، در معادله دیفرانسیل ِ صدق کند. جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل را می توان به صورت صریح یا ضمنی بیان کرد که نمایش صریح جواب عمومی و نمایش ضمنی آن است. مثال 5 : تابع جواب عمومی معادله دیفرانسیل مثال 4 است. این تابع به ازای هر مقدار در معادله دیفرانسیل صدق می کند. مثلا ً تابع به ازای به دست آمده است و تابع به ازای به دست می آید و اگر آنگاه نیز جواب معادله یاد شده است. تعریف 6 : جواب غیر عادی : بعضی معادلات دیفرانسیل جوابی دارند که آن را نمی توان از جواب ِ عمومی به دست آورد. این گونه جواب ها را جواب غیر عادی می گوییم. تعریف 7 : جواب خصوصی : اگر در جواب عمومی ِ یک معادله دیفرانسیل ، به ثابت ها ، مقادیر معینی نسبت دهیم، جواب خصوصی به دست می آید. جواب خصوصی بیشتر در مورد مسأله ی مقدار اولیه لازم می آید که در بخش بعدی به بیان آن می پردازیم
پاسخ : معادلات دیفرانسیل 5.1. مسأله ی مقدار اولیه مثال 6 : معادله دیفرانسیل مثال 4 را به یاد آورید. می خواهیم جوابی از این معادله را بیابیم که در شرط های زیر صدق می کند : و و حل : دیدیم که جواب عمومی معادله دیفرانسیل مورد نظر، به صورت است. بنابراین اگر بخواهیم شرط برقرار باشد ، در جواب عمومی مقادیر x = 0 و y = 1 را قرار می دهیم. داریم : بنابر شرط دوم، بایستی داشته باشیم ، پس و همچنین در شرط سوم داریم ، یعنی : بنابراین سه معادله i و ii و iii داریم و و سه مجهول . با حل این دستگاه سه معادله و سه مجهول ، مقادیر محاسبه می شوند : اکنون با قرار دادن مقادیر به دست آمده در جواب عمومی، جواب خصوصی مطلوب به صورت زیر به دست می آید : تعریف 8 : مسأله ی مقدار اولیه : مسأله ی مقدار اولیه ی متناظر با معادله دیفرانسیل مرتبه ی n ، معادله ایست با n شرط به طوری که بتوانیم با این n شرط ، جواب خصوصی را از جواب عمومی بیرون کشیم.
پاسخ : معادلات دیفرانسیل 6.1. تعابیری از جواب ِ یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول : الف : تعبیر هندسی ب : تعبیر فیزیکی الف : تعبیر هندسی در بخش 3.1 دیدیم که یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول به صورت است. می خواهیم جواب این معادله را به روش هندسی به دست آوریم. فرض کنیم در این معادله، تابع در ناحیه ی D از صفحه ی xy تعریف شده و در آن ناحیه پیوسته باشد و به مختصات ، نقطه ای درون این ناحیه باشد. بنابراین موجود است. از نقطه ی ، خطی با شیب رسم می کنیم. نقطه ی به مختصات را روی این خط و نزدیک به طوری در نظر می گیریم که درون D باشد. حال از نقطه ی ، خطی با شیب رسم می کنیم. نقطه ی به مختصات را روی این خط و نزدیک به طوری در نظر می گیریم که درون D باشد.با ادامه ی این روند و انتخاب نقاط ، خط شکسته ای رسم می شود. اگر این نقاط خیلی نزدیک به هم باشند، ( فاصله ی هر نقطه تا نقطه ی بعدی اش از دلخواه کوچکتر باشد ) خط شکسته به منحنی ای با معادله ی میل می کند. این منحنی دارای این خاصیت است که شیب در هر نقطه ی آن در معادله ی صدق می کند. پس این منحنی ، یک جواب معادله است و در شرط اولیه ی صدق می کند. اگر نقطه ی را به نقطه ی دیگری درD ، مانند ، تغییر دهیم و همان کار ها را تکرار کنیم، منحنی جدیدی مانند به دست می آید که آن نیز یک جواب معادله ی است اما شرط اولیه ی آن تغییر کرده است. ب : تعبیر فیزیکی معادله ی را می توان معادله ی حرکت متحرکی در نظر گرفت که سرعت آن در هر لحظه ی t برابر با است. اگر این متحرک روی مسیر حرکت کند، ، سرعت متحرک را در لحظه ی t و مکان نشان می دهد. اگر متحرک از لحظه ی که در مکان قرار دارد، شروع به حرکت کند، با سرعت اولیه ی حرکت خود را آغاز کرده است.
پاسخ : معادلات دیفرانسیل 7.1. قضیه وجود و یکتایی جواب مسأله مقدار اولیه قضیه پیکار ما را راهنمایی می کند که در چه نقاطی در پی ِ جواب برای یک مسأله مقدار اولیه باشیم . در حقیقت با شرایطی که قضیه ی پیکار بر مسأله مقدار اولیه در نظر می گیرد ، نه تنها وجود جواب تضمین می شود بلکه آن جواب را یکتا می کند. قضیه ی پیکار : فرض کنیم توابع ومشتشق نسبت به y ، ، درون و روی مستطیل که A و B اعداد مثبتی هستند، پیوسته باشند. با این شرایط عددی مانند h وجود دارد به طوری که مسأله ی مقدار اولیه ی در بازه ی ، یک و تنها یک جواب مانند دارد. قضیه ی پیکار خاطر نشان می کند که مسائل مقدار اولیه ای که شرایط این قضیه را دارند، دارای جواب منحصربه فرد هستند. این قضیه، جواب ِ مسأله اولیه را به دست نمی دهد ، اما ما را از وجود جواب مطمئن می کند و حتی بیان می کند که این تنها جواب ِ ممکن است و جز آن جواب ِ دیگری وجود ندارد. بدیهی است مسأله ای که شرایط قضیه را نداشته باشد، ممکن است جواب داشته یا نداشته باشد یا حتی جواب آن ها ممکن است یکتا باشد یا نباشد. اثبات قضیه ی پیکار کاملا ً پیچیده و طولانی است و مناسب برای ابتدای درس معادلات دیفرانسیل نیست. ما از این قضیه استفاده می کنیم و اثبات آن را پس از کسب مهارت در این درس بیان خواهیم کرد . اکنون با بیان دو مثال شما را با چگونگی استفاده از قضیه ی پیکار آشنا می کنیم. مثال 7 : تابع را در نظر بگیرید. این تابع و مشتقش نسبت به y ، ، در تمام صفحه پیوسته اند. بنابراین در هر مستطیل دلخواه ، از جمله مستطیل پیوسته اند. بنابر قضیه پیکار ، مسأله ی مقدار اولیه ی با شرط y(2)=3 ، در بازه ی دارای جواب یکتا است. مثال 8 : تابع و مشتقش نسبت به y ، در تمام صفحه به جز نقاط محور xها پیوسته اند.اگر مستطیل M طوری انتخاب شود که شامل محور x ها نباشد و اضلاع آن نیز روی محور x ها قرار نگیرند،( مستطیل M دقیقا ً پایین یا دقیقا ً بالای محور x ها قرار داشته باشد. ) قضیه ی پیکار ، جواب یکتایی برای مسأله ی مقدار اولیه ی پیش بینی می کند.
